求证平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和(证明平行四边形对角线平方和等于四边平方和)

导读 如图,在平行四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD,AO=OC=AC/2,BO=OD=BD/2.从B点向对角线AC作垂线,垂足为H。在直角三角形ABH中,AB^2=AH^2+BH^2=B...

如图,在平行四边形ABCD中,AB=CD,BC=AD,AO=OC=AC/2,BO=OD=BD/2.从B点向对角线AC作垂线,垂足为H。

在直角三角形ABH中,AB^2=AH^2+BH^2=BH^2+(AO-OH)^2在直角三角形CBH中,BC^2=BH^2+CH^2=BH^2+(AO+OH)^2所以,AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=4BH^2+4AO^2+4OH^2又,在直角三角形BOH中,BH^2+OH^2=BO^2所以,AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=4AO^2+4BO^2=AC^2+BD^2.即:平行四边形对角线平方和等于四边平方和。

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