2011年全国高中数学联赛江西省预赛试 题 一、填空题（每小题10分，共 分）、 是这样的一个四位数，它的各位数字之和为 ；像这样各位数字之和为 的四位数总共有 个．、设数列 满足: ,且对于其中任三个连续项 ,都有: .则通项 ．、以抛物线 上的一点 为直角顶点。
作抛物线的两个内接直角三角形 与 ，则线段 与 的交点 的坐标为 ．、设 ，则函数 的最大值是 ．、 ．、正三棱锥 的底面边长为 。
侧棱长为 ，过点 作与侧棱 都相交的截面 ，那么。
周长的最小值是 ．、满足 的一组正整数 ．、用 表示正整数 的各位数字之和，则 ．二、解答题（共 题，合计 分）、（20分）、设 。
且满足： ，求 的值． 、（ 分）如图， 的内心为 。
分别是 的中点， ，内切圆 分别与边 相切于 ；证明： 三线共点． 、（ 分）在电脑屏幕上给出一个正 边形。
它的顶点分别被涂成黑、白两色；某程序执行这样的操作：每次可选中多边形连续的 个顶点（其中 是小于 的一个固定的正整数），一按鼠标键，将会使这 个顶点“黑白颠倒”。
即黑点变白，而白点变黑；、证明：如果 为奇数，则可以经过有限次这样的操作。
使得所有顶点都变成白色，也可以经过有限次这样的操作，使得所有顶点都变成黑色；、当 为偶数时。
是否也能经过有限次这样的操作，使得所有的顶点都变成一色？证明你的结论． 解 答 、 ．提示：这种四位数 的个数，就是不定方程 满足条件 。
的整解的个数；即 的非负整解个数，其中 ，易知这种解有 个。
即总共有 个这样的四位数．（注：也可直接列举．）、 ． 提示：由条件得，，所以。
故 ，而 ；；于是；由此得. 、 ．提示：设 ，则。
直线 方程为，即 ，因为 。
则，即，代人方程得。
于是点 在直线 上；同理，若设 ，则 方程为。
即点 也在直线 上，因此交点 的坐标为 ．、 ．提示：由所以， 。
即，当 ，即 时取得等号．、 ．提示： ．、 ．提示：作三棱锥侧面展开图。
易知 ∥ ，且由周长最小，得 共线。
于是等腰 ， ，。
即 ， ，。
所以 ，由 ，则．、 ．提示：由于 是 形状的数。
所以 必为奇数，而 为偶数， 设 。
，代人得，即. ①而 为偶数。
则 为奇数，设 ，则。
由①得，， ②则 为奇数。
且 中恰有一个是 的倍数，当 ，为使 为奇数。
且 ，只有 ，②成为。
即 ，于是 ；若 ，为使 为奇数。
且 ，只有 ，②成为 。
即 ，它无整解；于是 是唯一解： ．（另外，也可由 为偶数出发。
使为 的倍数，那么 是 的倍数，故 是 形状的偶数。
依次取 ，检验相应的六个数即可．） 、 ．提示：添加自然数 ，这样并不改变问题性质；先考虑由 到 这一千个数。
将它们全部用三位数表示，得到集 ，易知对于每个 。
首位为 的“三位数”恰有 个： ，这样，所有三位数的首位数字和为.再将 中的每个数 的前两位数字互换。
成为 ，得到的一千个数的集合仍是 ，又将 中的每个数 的首末两位数字互换。
成为 ，得到的一千个数的集合也是 ，由此知．今考虑四位数：在 中。
首位（千位）上，共有一千个 ，而在中。
首位（千位）上，共有一千个 ，因此；其次。
易算出， . 所以，．、由。
即，平方得 所以，即。
所以．、如图，设 交于点 ，连 。
由于中位线 ∥ ，以及 平分 ，则 。
所以 ，因 ，得 共圆．所以 ；又注意 是 的内心。
则.连 ，在 中，由于切线 。
所以，因此 三点共线，即有 三线共点．、 证明：由于 为质数。
而 ，则 ，据裴蜀定理。
存在正整数 ，使, ①于是当 为奇数时，则①中的 一奇一偶．如果 为偶数。
为奇数，则将①改写成：，令 。
上式成为 ，其中 为奇数， 为偶数．总之存在奇数 和偶数 。
使①式成立；据①，, ②现进行这样的操作：选取一个点 ，自 开始。
按顺时针方向操作 个顶点，再顺时针方向操作接下来的 个顶点……当这样的操作进行 次后，据②知。
点 的颜色被改变了奇数次（ 次），从而改变了颜色，而其余所有顶点都改变了偶数次（ 次）状态。
其颜色不变；称这样的 次操作为“一轮操作”，由于每一轮操作恰好只改变一个点的颜色，因此。
可以经过有限多轮这样的操作，使所有黑点都变成白点，从而多边形所有顶点都成为白色；也可以经过有限多轮这样的操作。
使所有白点都变成黑点，从而多边形所有顶点都成为黑色．、当 为偶数时，也可以经过有限多次这样的操作。
使得多边形所有顶点都变成一色．具体说来，我们将有如下结论：如果给定的正多边形开初有奇数个黑点、偶数个白点，则经过有限次操作。
可以将多边形所有顶点变成全黑，而不能变成全白；反之，如果给定的正多边形开初有奇数个白点、偶数个黑点。
则经过有限次操作，可以将多边形所有顶点变成全白，而不能变成全黑；为此。
采用赋值法：将白点改记为“ ”，而黑点记为“ ”，改变一次颜色。
相当于将其赋值乘以 ，而改变 个点的颜色，即相当于乘了 个（偶数个） 。
由于 ；因此当多边形所有顶点赋值之积为 ，即总共有奇数个黑点，偶数个白点时。
每次操作后，其赋值之积仍为 ，因此无论操作多少次。
都不能将全部顶点变白．但此时可以变成全黑，这是由于，对于偶数 。
则①②中的 为奇数，设 是多边形的两个相邻顶点，自点 开始。
按顺时针方向操作 个顶点，再顺时针方向操作接下来的 个顶点……当这样的操作进行 次后，据②知。
点 的颜色被改变了偶数次（ 次），从而颜色不变，而其余所有 个顶点都改变了奇数次（ 次）状态。
即都改变了颜色；再自点 开始，按同样的方法操作 次后，点 的颜色不变。
其余所有 个顶点都改变了颜色；于是，经过上述 次操作后，多边形恰有 两个相邻顶点都改变了颜色。
其余所有 个点的颜色不变．现将这样的 次操作合并，称为“一轮操作”；每一轮操作，可以使黑白相邻的两点颜色互换。
因此经过有限轮操作，总可使同色的点成为多边形的连续顶点；于是当多边形开初总共有偶数个白点时，每一轮操作又可将相邻两个白点变成黑点。
使得有限轮操作后，多边形所有顶点都成为黑色．同理得，如果给定的正多边形开初总共有奇数个白点、偶数个黑点。
经过有限次操作，可以使多边形顶点变成全白，而不能变成全黑；（只需将黑点赋值为“ ”。
白点赋值为“ ”，证法便完全相同）．。